Andrzej Gałażewski urodził się 24 kwietnia 1944 r. w Krakowie. Do Gliwic przeprowadził się wraz z rodzicami. Tutaj ukończył szkołę podstawową i średnią, po czym studiował na Wydziale Mechaniczno-Energetycznym Politechniki Śląskiej. W latach 1964–1968 był przewodniczący Rady Wydziałowej Zrzeszenia Studentów Polskich. Studia ukończył w 1968 r. W latach 1967–1974 był zatrudniony w Zakładach Konstrukcyjno-Mechanizacyjnych Przemysłu Węglowego w Gliwicach, z przerwą kiedy od 1970 do 1971 r. pracował jako konstruktor w Centralnym Ośrodku Konstrukcyjno-Badawczym Przemysłu Okrętowego w Gdańsku. W 1974 r. zatrudnił się w Biurze Studiów i Projektów Przemysłu Nieorganicznego „Biprokwas” w Gliwicach, gdzie pracował do 1986 r. W 1980 r. znalazł się w Komitecie Założycielskim NSZZ „Solidarność” Biura Studiów i Projektów Przemysłu Nieorganicznego „Biprokwas” w Gliwicach, a następnie był tamże członkiem Komisji Zakładowej związku. W trakcie strajku w 1981 r. pełnił funkcję porządkowego przy wejściu do budynku biura. Po ogłoszeniu stanu wojennego organizował pomoc dla osób internowanych, polegającą m.in. na organizowaniu paczek żywnościowych, zbieraniu pieniędzy oraz paliwa na wyjazdy do ośrodków odosobnienia. Stanął na czele nielegalnej struktury NSZZ „Solidarność” pracowników „Biprokwasu”. W 1982 r. uczestniczył w słynnej manifestacji gliwickiej, która przeszła ulicą Zwycięstwa. W latach 1982–1986 organizował (od maja 1983 r. z ramienia Regionalnej Komisji Wykonawczej NSZZ „Solidarność” Regionu Śląsko-Dąbrowskiego) druk i kolportaż prasy podziemnej, m.in. „Regionalnego Informatora Solidarności Śląsko-Dąbrowskiej RIS” i „Głosu Śląsko-Dąbrowskiego”.
Zorganizował drukarnię śląskiej edycji „Tygodnika Mazowsze”. Szkolił drukarzy w regionie. Aresztowany 14 kwietnia 1986 r., został osadzony w areszcie Wojewódzkiego Urzędu Spraw Wewnętrznych, a następnie w areszcie śledczym w Katowicach. Zwolniony 10 września 1986 r. na mocy amnestii. Po wyjściu z więzienia kontynuował działalność opozycyjną. W latach 1987–1989 między innymi odpowiadał za współpracę z zagranicą Regionalnej Komisji Wykonawczej NSZZ „Solidarność” Regionu Śląsko-Dąbrowskiego. W lutym 1989 r. uczestniczył w II Zgromadzeniu Delegatów NSZZ „Solidarność” Regionu Śląsko-Dąbrowskiego w Ustroniu-Polanie. W lipcu 1986 r. został zwolniony z pracy. W latach 1987–1990 pracował w Zakładzie Badawczo-Projektowym „Energochem” w Gliwicach. Od 1989 r. był tamże członkiem Komisji Zakładowej NSZZ „Solidarność”. W 1989 r. zastąpił Jana Mazurkiewicza na stanowisku przewodniczącego Gliwicko-Zabrzańskiego Komitetu Obywatelskiego „Solidarność”, którą to funkcje sprawował do 1990 r. W latach 1990–1991 był prezydentem Gliwic, następnie właścicielem firmy budowlanej (1991–1992) i wiceprezesem Górnośląskiej Agencji Rozwoju Regionalnego w Katowicach (1992–1997). W latach 1997–2000 wicewojewoda katowicki, a po reformie administracyjnej w 1999 r. wicewojewoda śląski. Od 2000 do 2001 r. kierował Regionalną Izbą Przemysłowo-Handlowej w Gliwicach. W wolnej Polsce związany politycznie kolejno z Kongresem Liberalno-Demokratycznym (1991–1993), Unią Wolności (1994–2000) i Platformą Obywatelską (od 2001 r., nadal). W tej ostatniej jest działaczem struktur regionalnych i krajowych. Z ramienia tej partii był posłem na Sejm RP IV, V, VI i VII kadencji. W 2001 r. został odznaczony Złotym Krzyżem Zasługi, a w 2012 r. Krzyżem Wolności i Solidarności.